1.
Definición
Las funciones
exponenciales, son un tipo de función con
una base constante elevada a una variable. Con
base a es una función de la forma f(x) = ax ,
donde a y x son
números reales tal que a > 0 y a es
diferente de uno.
También
existen funciones exponenciales de base e, cuyo valor es un número irracional: 2.71828... La notación e para
este número fue dada por Leonhard
Euler (1727). Su forma es f(x) = ex.
Para resolver este tipo de funciones es necesario tener claras
algunas de las propiedades de las
potencias, como por ejemplo:
1. a°
= 1
2. a-n = 1/an
1.1Propiedades
funciones exponenciales
1) Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) =
a° = 1
2) Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) =
a¹ = a
3) La función es positiva para cualquier valor de
x: f(x) >0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva,
y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.
4) Si la base de la potencia es mayor
que 1, a>1, la función es creciente.
5) Si la base de la potencia es menor
que 1, a<1,
la función es decreciente
1.2 Representación gráfica funciones exponenciales
a > 1
Para x = 0, y = a° = 1
Para x = 1, y = a¹ = a
Para cualquier x, la función es creciente
y siempre positiva. Ej.: y = 2x
Existen
dos casos
a< 1
Para x = 0, y = a° = 1
Para x = 1, y = a¹ = a
La función es decreciente y siempre
positiva. Ej.: y= 1/2x
1.3
Ecuaciones exponenciales
Las ecuaciones en las que la incógnita
aparece como exponente, sol las ecuaciones exponenciales.
Dependiendo del exponente:
|
En
algunas ecuaciones es necesario hacer un cambio de variable para su resolución.
Teniendo
en cuenta las propiedades de las potencias, la ecuación puede escribirse:
4.4x +
2³·2x = 320 → 4.4x + 8·2x = 320
Expresando
4x como potencia de dos,
4.2².x +
8.2x = 320
Se
hace el cambio de variable 2x = y, (por tanto 2².x =
y²) y se obtiene:
4
y² + 8 y = 320
Basta
ahora con resolver esta ecuación:
y²
+ 2 y - 80 = 0
Se
deshace ahora el cambio y = 2x
y1 =
-10 = 2x. No es posible encontrar un x que verifique esta condición
(2x es siempre positivo)
y2 =
8 = 2x → x = 3
La
solución es, por tanto, x = 3
Resolver
5x + 5x+2 + 5x+4 = 651
Resolución:
Aplicando
las propiedades de las potencias, la ecuación se puede escribir como
5x +
5² ·5x + 54 ·5x = 651
Sacando
factor común 5x:
5x (1
+ 5² + 54) = 651
5x·651
= 651 → 5x = 1 → x = 0
2.
Definición de logaritmo
Un
número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1), y un
número N positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0), se llama logaritmo en base a de
N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.
Para
indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:
loga N = x. Se lee «logaritmo en base a de N es igual a
x».
Por
lo tanto, loga N = x (notación
logarítmica) equivale a decir que ax = N(notación exponencial).
1-
El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a° = 1
2-
El logaritmo de un número igual a la
base es 1: loga a = 1,
ya que a¹ = a
3-
El logaritmo de una potencia cuya
base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am
4-
No existe el logaritmo en cualquier
base de un número negativo o cero.
5-
El logaritmo de un número N mayor que
cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es negativo si la base a del logaritmo es
a>1.
Así, por ejemplo, log 3 1/9 = -2, ya que 3-2 = 1/9
6-
El logaritmo de
un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1,
es positivo si la base a del
logaritmo es a<1.
Por ejemplo, log 1/3 1/9 = 2, ya que (1/3)² = 1/9
7- El logaritmo de un número N>1 es
positivo si la base es a>1.
Así, log3 9 = 2; ya que 3² = 9
8- El logaritmo de un número N>1 es
negativo si la base es a<1.
Así, log 1/5 25 = -2, ya que (1/5)-2 = 25
2.1 Propiedades
1) loga(X · Y) = loga X + loga Y
2) log a X/Y = log a X - log a Y
3) loga Xn = n loga X
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